Question

已知正方形的外接圓方程為x²+y²-24x+a=0，A、B、C、D按逆時針方向排列，正方形一邊CD所在直線的方向向量為（3，1）．
（1）求正方形對角線AC與BD所在直線的方程；
（2）若頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線E經過正方形在x軸上方的兩個頂點A、B，求拋物線E的方程．

Answer 1

分析：（1）配方推出圓的方程，求出圓心，利用k_AB=

1

3

，設MA、MB的斜率k滿足|

k- 1 3

1+ 1 3 k

|=1，求出直線的斜率，得到直線的方程．
（2）設MB、MA的傾斜角分別為θ₁，θ₂，則tanθ₁=2，tanθ₂=-

1

2

，設出圓的半徑r，利用A，B在拋物線上，求出p，r，得到拋物線方程．

解答：解：（1）由（x-12）²+y²=144-a（a＜144），
可知圓心M的坐標為（12，0），
依題意，∠ABM=∠BAM=

π

4

，k_AB=

1

3

，設MA、MB的斜率k滿足|

k- 1 3

1+ 1 3 k

|=1．
解得k_AC=2，K_BD=-

1

2

．
∴所求BD方程為x+2y-12=0，AC方程為2x-y-24=0．
（2）設MB、MA的傾斜角分別為θ₁，θ₂，則tanθ₁=2，tanθ₂=-

1

2

，
設圓半徑為r，則A（12+

5

5

r，

2 5

5

r），B（12-

2 5

5

r，

5

5

r），
再設拋物線方程為y²=2px （p＞0），由于A，B兩點在拋物線上，
∴

( 5 5 r)2=2P(12- 2 5 5 r) ( 2 5 5 r)2=2p(12+ 5 5 r)

∴r=4

5

，p=2．
得拋物線方程為y²=4x．

點評：本題是中檔題，考查拋物線與直線的位置關系，拋物線方程的求法，考查計算能力，轉化思想，常考題型．