Question

（本題滿分14分）
設直線與拋物線交于不同兩點A、B，F為拋物線的焦點。
（1）求的重心G的軌跡方程；
（2）如果的外接圓的方程。

Answer 1

① ；②。

試題分析：（1）設出A、B、G的坐標，聯立直線與拋物線，利用重心坐標公式，即可求得重心G的軌跡方程；
（2）確定AB的中垂線方程為x+y-6=0，令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a），求出弦AB的長，C到AB的距離，利用|CA|=|CF|，即可求得圓心坐標與半徑，從而可得△ABF的外接圓的方程。
解①設，，，重心，
∴△＞0＜1且（因為A、B、F不共線）
故
∴重心G的軌跡方程為 ………6分（范圍不對扣1分）
②，則，設中點為
∴  ∴
那么AB的中垂線方程為，令△ABF外接圓圓心為
又，C到AB的距離為
∴
    ∴   ∴
∴所求的圓的方程為   ………14分
點評：解決該試題的關鍵是確定圓的圓心與半徑。利用三角形的重心坐標公式及利用待定系數法求解圓的方程，主要體現了方程思想的應用。