Question

【題目】如圖，O為等腰三角形ABC內一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F兩點．
（1）證明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2 ，求四邊形EBCF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，

∴AD是∠CAB的角平分線，

又∵圓O分別與AB、AC相切于點E、F，

∴AE=AF，∴AD⊥EF，

∴EF∥BC

（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，

又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，

連結OE、OM，則OE⊥AE，

由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，

∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，

∵AE=2 ，∴AO=4，OE=2，

∵OM=OE=2，DM= MN= ，∴OD=1，

∴AD=5，AB= ，

∴四邊形EBCF的面積為 × ﹣ × × = ．

【解析】（1）通過AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點E、F，利用相似的性質即得結論；（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結OE、OM，則OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF計算即可．