Question

設數列{a_n}是首項為1公比為3的等比數列，把{a_n}中的每一項都減去2后，得到一個新數列{b_n}，{b_n}的前n項和為S_n，對任意的n∈N^*，下列結論正確的是（　　）

• A、b_n+1=3b_n，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）
• B、b_n+1=3b_n-2，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）
• C、b_n+1=3b_n+4，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）-2n
• D、b_n+1=3b_n-4，且S_n=

  1

  2

  （3ⁿ-1）-2n

Answer 1

分析：由題意知a_n=3^n-1，b_n=3^n-1-2，b_n+1=3b_n+4．{b_n}的前n項和S_n=（1-2）+（3¹-2）+（3²-2）+（3³-2）++（3^n-1-2）=（1+3¹+3²+3³++3^n-1）-2n=

(1-3n)

1-3

-2n=

1

2

（3ⁿ-1）-2n．

解答：解：因為數列{a_n}是首項為1公比為3的等比數列，所以數列{a_n}的通項公式
a_n=3^n-1，則依題意得，數列{b_n}的通項公式為b_n=3^n-1-2，∴b_n+1=3ⁿ-2，3b_n=3（3^n-1-2）=3ⁿ-6，
∴b_n+1=3b_n+4．{b_n}的前n項和為：
S_n=（1-2）+（3¹-2）+（3²-2）+（3³-2）++（3^n-1-2）=（1+3¹+3²+3³++3^n-1）-2n=

(1-3n)

1-3

-2n
=

1

2

（3ⁿ-1）-2n．
故選C．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的靈活運用．