Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=2，|

b

|=1，且

a

與

b

的夾角為

π

3

．
（1）若向量

a

+k

b

與

a

-k

b

相互垂直，求實數(shù)k的值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使向量2λ

a

+7

b

與向量

a

+λ

b

的夾角為鈍角？若存在，求出實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,數(shù)量積表示兩個向量的夾角,數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量

a

+k

b

與

a

-k

b

相互垂直?(

a

+k

b

)•(

a

-k

b

)=0，解得即可；
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使向量2λ

a

+7

b

與向量

a

+λ

b

的夾角為鈍角，則(2λ

a

+7

b

)•(

a

+λ

b

)＜0，且不能反向．

解答： 解：（1）∵向量

a

+k

b

與

a

-k

b

相互垂直，
∴(

a

+k

b

)•(

a

-k

b

)=

a

2-k2

b

2=4-k2=0
解得k=±2．
（2）假設(shè)存在實數(shù)λ，使向量2λ

a

+7

b

與向量

a

+λ

b

的夾角為鈍角，
∵向量

a

，

b

滿足|

a

|=2，|

b

|=1，且

a

與

b

的夾角為

π

3

．
∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos

π

3

=2×1×

1

2

=1．
則(2λ

a

+7

b

)•(

a

+λ

b

)=2λ

a

2+(2λ2+7)

a

•

b

+7λ

b

2=8λ+2λ²+7+7λ=2λ²+15λ+7＜0．
解得-7＜λ＜-

1

2

，
又當(dāng)向量2λ

a

+7

b

與向量

a

+λ

b

反向共線時，此時λ=-

14

2

．
∴λ的取值范圍為(-7，-

14

2

)∪(-

14

2

，-

1

2

)．

點評：本題考查了向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量的夾角、向量共線、數(shù)量積的運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．