Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=

2

，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M．
（1）求證：CD⊥平面BDM；
（2）求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出相關向量計算

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0即得證，
（2）求出面B₁BD與面CBD的法向量，利用向量的數量積求解可得答案．

解答：證明：如圖以C為原點建立坐標系．
（1）B（

2

，0，0），B₁（

2

，1，0），A₁（0，1，1），
D（

2

2

，

1

2

，

1

2

），
M（

2

2

，1，0），

CD

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

A1B

=（

2

，-1，-1），

DM

=（0，

1

2

，-

1

2

），

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，
所以CD⊥平面BDM．
（2）設BD中點為G，連接B₁G，
則G (

3 2

4

，

1

4

，

1

4

)，

BD

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），

B1G

=(-

2

4

，-

3

4

，

1

4

)，
∴

BD

•

B1G

=0，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴

CD

與

B1G

的夾角θ等于所求二面角的平面角，
cos θ=

CD • B1G

| CD |•| B1G |

=-

3

3

．
又由于二面角A-BD-C的平面角與面B₁BD與面CBD所成二面角互補
所以所求二面角的大小為arccos

3

3

．

點評：本題以直三棱柱為載體，考查直線與平面的垂直判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．