Question

【題目】已知函數滿足:①定義為；②.

（1）求的解析式；

（2）若；均有成立，求的取值范圍；

（3）設，試求方程的解.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），、，、

【解析】

（1）利用構造方程組法即可求得的解析式;

（2）根據不等式,構造函數與.根據不等式恒成立可知滿足.求得.通過判斷的符號可判斷的單調性,由其單調性可得,進而可知為單調遞增函數,即可求得.再根據及二次函數性質,可得的取值范圍;

（3）根據的解析式,畫出函數圖像.并令,則方程變為.解得的值.即可知、及.結合函數圖像及解析式,即可求得對應方程的解.

（1）,…①

所以即…②

由①②聯立解得:.

（2）設,

,

依題意知:當時,

又在上恒成立,

所以在上單調遞減

在上單調遞增,

,

解得:

實數的取值范圍為.

（3）的圖象如圖所示：

令,則

當時有1個解,

當時有2個解：、,

當時有3個解:、.

故方程的解分別為：

,、,、