Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=n²．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=，求數列{b_n}的前n項的和T_n．
（3）是否存在自然數m，使得＜T_n＜對一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法，可求數列的和；
（3）先確定≤T_n＜，再根據＜T_n＜對一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值
解答：解：（1）∵S_n=n²，∴當n=1時，a₁=S₁=1；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
a₁=1滿足上式，∴a_n=2n-1；
（2）由b_n===
∴T_n=（1-++…+）=（1-）=．
（3）T_n+1-T_n=＞0，∴{T_n}單調遞增，∴T_n≥T₁=
∵T_n=（1-）＜，∴≤T_n＜
使得＜T_n＜對一切n∈N^*恒成立，則
∴≤m＜
∵m是自然數，∴m=2．
點評：本題考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，求得數列的通項與和是關鍵．