Question

設正項數列{a_n}的前項和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差數列，且公差相等，求：
（1）{a_n}的通項公式；
（2）若a₁，a₂，a₅恰為等比數列{b_n}的前三項，記數列c_n=cn=

24bn

(12bn-1)2

，數列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）設出{a_n}的公差為d，求出

Sn

，由{

Sn

}也是公差為d的等差數列，知

Sn

是關于n的一次函數，由此得到a1-

d

2

=0，且d=

d 2

，求解d后可求{a_n}的通項公式；
（2）利用a₁，a₂，a₅恰為等比數列{b_n}的前三項得數列{b_n}的首項和公比，求出通項公式后代入cn=

24bn

(12bn-1)2

，整理后對n≥2時把c_n放大，然后利用裂項相消法求和，進一步放縮后得結論，驗證T₁成立，則結論得到證明．

解答：（1）解：設{a_n}的公差為d，則

Sn

=

d 2 n2+(a1- d 2 )n

   ①．
又{

Sn

}也是公差為d的等差數列，結合①知，

Sn

=

d 2

n．
∴a1-

d

2

=0，且d=

d 2

，∴d=

1

2

，
則a1=

d

2

=

1 2

2

=

1

4

．
∴an=a1+(n-1)d=

1

4

+

1

2

(n-1)=

n

2

-

1

4

；
（2）證明：由an=

n

2

-

1

4

，得：a1=

1

4

，a2=

3

4

，a5=

9

4

．
而a₁，a₂，a₅恰為等比數列{b_n}的前三項，
∴b1=a1=

1

4

，等比數列{b_n}的公比q=

a2

a1

=

3 4

1 4

=3．
∴bn=b1qn-1=

1

4

×3n-1，∴cn=

24bn

(12bn-1)2

=

24× 1 4 ×3n-1

(12× 1 4 ×3n-1-1)2

=

2×3n

(3n-1)2

．
當n≥2時，

2×3n

(3n-1)2

＜

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

．
∴當n≥2時，Tn=

3

2

+

2×32

(32-1)2

+…+

2×3n

(3n-1)2

≤

3

2

+(

1

2

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2，
且T1=

3

2

＜2，故對任意n∈N^*，T_n＜2．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了數列和的求法，訓練了利用放縮法證明不等式，屬中高檔題．