Question

已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)n，在區(qū)間內(nèi)，總存在m+1個(gè)數(shù)a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：解此題的第一個(gè)突破點(diǎn)是第一（1）用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)為正求單調(diào)區(qū)間，（2）求過(guò)切點(diǎn)的切線方程，找出兩切點(diǎn)關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可，（3）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題．
解答：解：（1）當(dāng)，解得x＞，或x＜-．
∴函數(shù)f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵，∴切線PM的方程為：．
又∵切線PM過(guò)點(diǎn)P（1，0），∴有．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過(guò)點(diǎn)（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

把（*）式代入，得，
因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為g（t）=（t＞0）
（3）易知g（t）在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，，m+1）．
則m•g（2）≤g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）＜g（a_m+1）對(duì)一切正整數(shù)n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（n+）對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立，
即m＜對(duì)一切的正整數(shù)n恒成立
∵，
∴．
∴
由于m為正整數(shù)，∴m≤6．又當(dāng)m=6時(shí)，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，對(duì)所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．
點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)比較基礎(chǔ)，二三問(wèn)比較復(fù)雜，考切線問(wèn)題，和數(shù)列問(wèn)題，又滲透了恒成立思想，此題比較新，雖是壓軸題但并不像以往壓軸題的思路，有突破有創(chuàng)新，值得做．