Question

已知函數，過點P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．
（1）當t=2時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）設|MN|=g（t），試求函數g（t）的表達式；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數n，在區間內，總存在m+1個數a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：解此題的第一個突破點是第一（1）用導數的符號為正求單調區間，（2）求過切點的切線方程，找出兩切點關系，再利用兩點間的距離公式求解即可，（3）利用函數的單調性轉化為恒成立問題．
解答：解：（1）當，解得x＞，或x＜-．
∴函數f（x）有單調遞增區間為，
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
∵，∴切線PM的方程為：．
又∵切線PM過點P（1，0），∴有．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過點（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

把（*）式代入，得，
因此，函數g（t）的表達式為g（t）=（t＞0）
（3）易知g（t）在區間上為增函數，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，，m+1）．
則m•g（2）≤g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）++g（a_m）＜g（a_m+1）對一切正整數n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（n+）對一切的正整數n恒成立，
即m＜對一切的正整數n恒成立
∵，
∴．
∴
由于m為正整數，∴m≤6．又當m=6時，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，對所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．
點評：本題第一問比較基礎，二三問比較復雜，考切線問題，和數列問題，又滲透了恒成立思想，此題比較新，雖是壓軸題但并不像以往壓軸題的思路，有突破有創新，值得做．