Question

A．（不等式選做題）不等式|x-1|+|x+2|＜a的解集不是空集，則實數a的取值范圍為

 

．
B．（幾何證明選做題）如圖，割線PBC經過圓心O，OB=PB=1，OB繞點O逆時針旋轉120°到OD，連PD交圓O于點E，則PE=

 

．
C．（極坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，已知曲線p=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，則實數a的值為

 

．

Answer 1

分析：A，利用絕對值不等式的性質：|a|+|b|≥|a+b|（當且僅當a與b同號取等號），求出原不等式左邊的最小值，讓a大于等于求出的最小值，即可得到滿足題意的實數a的取值范圍．
B，先由余弦定理求出PD，再根據割線定理即可求出PE，問題解決．
C，先圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得直角坐標系，再利用直角坐標方程求解即可．

解答：解：A：∵|x+2|+|x-1|=|x+2|+|1-x|≥|x+2+1-x|=3，
∴|x+2|+|x-3|的最小值為3，
又不等式|x+2|+|x-3|≤a的解集不是空集，
∴a≥3．
故答案為：（3，+∞）；
B：由余弦定理得，PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos120°=1+4-2×1×2×（-

1

2

）=7，
所以PD=

7

．
根據割線定理PE•PD=PB•PC得，

7

PE=1×3，
所以PE=

3 7

7

．
故答案為

3 7

7

．
C：p²=2pcosθ，圓ρ=2cosθ的普通方程為：x²+y²=2x，（x-1）²+y²=1，
直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：3x+4y+a=0，
又圓與直線相切，所以

|3•1+4•0+a|

32+42

=1，解得：a=2，或a=-8．
故答案為：a=2或a=-8

點評：A：此題考查絕對值不等式的性質及其解法，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進行放縮的方向．B：已知三角形兩邊與夾角時，一定要想到余弦定理的運用，之后做題的思路也許會豁然開朗．C：本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉化問題的能力．