Question

A．（不等式選做題）
函數(shù)f（x）=x²-x-a²+a+1對于任一實(shí)數(shù)x，均有f（x）≥0．則實(shí)數(shù)a滿足的條件是

 

．
B．（幾何證明選做題）
如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，CD=2

3

，AB=BC=4，則AC的長為

 

．
C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=4cos(θ-

π

3

)上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為

 

．

Answer 1

分析：A  由函數(shù)f（x）=x²-x-a²+a+1對于任一實(shí)數(shù)x，均有f（x）≥0，故判別式△=4a²-4a-3≤0，解出a 的范圍．
B 由切線長定理求得DB=2，在△ABC 和△ACD 中，分別使用余弦理，解方程組求得 AC 的長．
C 把極坐標(biāo)方程化為普通方程，可得曲線表示一個圓，故曲線上任意兩點(diǎn)間的距離最大值為圓的直徑．

解答：解：A，∵函數(shù)f（x）=x²-x-a²+a+1對于任一實(shí)數(shù)x，均有f（x）≥0．∴△=4a²-4a-3≤0，
解得-

1

2

≤a≤

3

2

．
B，由圓的切割線定理得  DC²=DB×DA，∴12=DB×（4+DB ），DB=2，DA=2+4=6，
設(shè) AC=x，∠CAB=θ，在△ABC 和△ACD 中，分別使用余弦理得：
16=x²+16-2x•4cosθ，12=x²+36-2x•6cosθ，消去θ，解得  x=4

3

．
C，曲線ρ=4cos(θ-

π

3

) 即 ρ=2cosθ+

3

sinθ，∴x²+y²=2x+

3

y，
(x-1)2+(y-

3

2

)2=

7

4

，表示圓心在（1，

3

2

），半徑等于

7

2

的圓．圓上任意兩點(diǎn)間的距離最大
為直徑

7

．
綜上，故答案為：-

1

2

≤a≤

3

2

；4

3

；

7

．

點(diǎn)評：本題考查把極坐標(biāo)方程化為普通方程，函數(shù)的恒成立問題，圓的切割線定理的應(yīng)用．