Question

【題目】已知函數(shù)：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．
（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判斷h（x）的奇偶性，并討論h（x）的單調(diào)性；
（2）若g（x）=|f（x）|，設(shè)M（a，b）為g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=﹣（x﹣1）3﹣3（x﹣1）2+（1+a）x+2，

h（﹣x）=（x+1）3﹣3（x+1）2﹣x（a+1）+2，

故h（x）是非奇非偶函數(shù)；

h′（x）=﹣3x2+a+4，

a+4≤0即a≤﹣4時(shí)，h′（x）≤0，

h（x）在R遞減；

a+4＞0即a＞﹣4時(shí)，

令h′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜ ，

令h′（x）＜0，解得：x＜﹣ 或x＞ ，

故h（x）在（﹣∞，﹣ ）遞減，在（﹣ ， ）遞增，

在（ ，+∞）遞減

（2）解：g（x）=|f（x）|=|x3+3x2﹣（1+a）x﹣b|，（a＜0），

則f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，

令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，

則h′（t）=3t2﹣（a+4），t∈[﹣1，1]，

①當(dāng)a≤﹣4時(shí)，h′（t）≥0恒成立，

此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，

則M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}

②當(dāng)﹣4＜a＜0時(shí)，h（t）有兩個(gè)極值點(diǎn)t1，t2，不妨設(shè)t1＜t2，

（i）當(dāng)﹣1≤a＜0時(shí)，t1=﹣ ≤﹣1，t2= ≥1，

此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

則M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}

（ii）當(dāng)﹣4＜a＜﹣1時(shí)，t1=﹣ ＞﹣1，t2= ＜1，

此時(shí)函數(shù)在[﹣1，t1]上遞增，在[t1，t2]上遞減，在[t2，1]上遞增，

則M（a，b）=max{|2a﹣b+6|，|b|，|2（ ）3+a﹣b+3|，|﹣2（ ）3+a﹣b+3|}

則M（a，b）≥min{|a+3|，2（ ）3}，

由|a+3|=2（ ）3得：a=﹣1，或a=﹣ ，

當(dāng)a=﹣1時(shí)，M（a，b）≥2，

當(dāng)a=﹣ 時(shí)，M（a，b）≥ ，

故當(dāng)a=﹣ ，b=﹣ 時(shí)，M（a，b）的最小值為

【解析】（1）根據(jù)已知求也函數(shù)h（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)的奇偶性，求導(dǎo)，可分析出h（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）=|f（x）|，則f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法分類(lèi)討論，可得M（a，b）的最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．