Question

已知焦點在x軸上，離心率為的橢圓的一個頂點是拋物線x²=4y的焦點，過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于點M，且，．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為橢圓的離心率為，所以，又因為橢圓的一個頂點是拋物線x²=4y的焦點，且橢圓的焦點在x軸上，所以b=1，再根據a，b，c的關系，就能求出a的值，橢圓的方程可得．
（2）可先設出A、B、M的坐標，代入，，就可找到幾個點坐標的關系式，再根據A，B再橢圓上，滿足橢圓方程，消去參數，就可求出λ₁+λ₂的值．
解答：解：（1）依題意，設橢圓方程為
因為拋物線x²=4y的焦點為（0，1），所以b=1．
由．
故橢圓方程為．
（2）依題意設分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（0，y），
由（1）得橢圓的右焦點F（2，0），

由
由
因為A、B在橢圓上，所以
即
所以λ₁，λ₂是方程λ²+10λ+（5-5y²）=0的兩根，
故λ₁+λ₂=-10是定值．
點評：本題考查了直線與橢圓 的位置關系，做題時要認真分析，找到突破口．