Question

已知函數f（x）的圖象在[a，b]上連續不斷，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數f（x）在D上的最大值．若存在最小正整數k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，試寫出f₁（x），f₂（x）的表達式；
（2）已知函數f（x）=x²，x∈[-1，4]，試判斷f（x）是否為[-1，4]上的“k階收縮函數”，如果是，求出對應的k；如果不是，請說明理由；
（3）已知b＞0，函數f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=cosx的最大值為1，可得f₁（x）、f₂（x）的解析式．
（2）根據函數f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．
（3）先對函數f（x）進行求導判斷函數的單調性，進而寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，然后再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（Ⅱ）f1(x)=

x2，x∈[-1，0) 0，x∈[0，4]

，f2(x)=

1，x∈[-1，1) x2，x∈[1，4]

f2(x)-f1(x)=

1-x2，x∈[-1，0) 1，x∈[0，1) x2，x∈[1，4]

當x∈[-1，0]時，1-x²≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
當x∈（0，1）時，1≤k（x+1），∴k≥

1

x+1

，∴k≥1；
當x∈[1，4]時，x²≤k（x+1），∴k≥

x2

x+1

，∴k≥

16

5

．
綜上所述，∴k≥

16

5

即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4階收縮函數．

（Ⅲ）f'（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2．

函數f（x）的變化情況如下：
令f（x）=0，解得x=0或3．

（ⅰ）b≤2時，f（x）在[0，b]上單調遞增，
因此，f₂（x）=f（x）=-x³+3x²，f₁（x）=f（0）=0．
因為f（x）=-x³+3x²是[0，b]上的2階收縮函數，
所以，①f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）對x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得f₂（x）-f₁（x）＞（x-0）成立．
①即：-x³+3x²≤2x對x∈[0，b]恒成立，
由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x對x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立．
由x（x²-3x+1）＜0得：x＜0或

3- 5

2

＜x＜

3+ 5

2

，
所以，需且只需b＞

3- 5

2

．
綜合①②可得：

3- 5

2

＜b≤1．

（ⅱ）當b＞2時，顯然有

3

2

∈[0，b]，由于f（x）在[0，2]上單調遞增，
根據定義可得：f2(

3

2

)=

27

8

，f1(

3

2

)=0，
可得f2(

3

2

)-f1(

3

2

)=

27

8

＞2×

3

2

=3，
此時，f₂（x）-f₁（x）≤2（x-0）不成立．
綜合ⅰ）ⅱ）可得：

3- 5

2

＜b≤1．
注：在ⅱ）中只要取區間（1，2）內的一個數來構造反例均可，這里用

3

2

只是因為簡單而已．

點評：本題主要考查學生的對新問題的接受、分析和解決的能力．要求學生要有很扎實的基本功才能作對這類問題．