Question

【題目】已知α為銳角，且 ，函數 ，數列{an}的首項a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求證：數列{an+1}為等比數列；
（3）求數列{an}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

又∵α為銳角

∴α=

∴

∴f（x）=2x+1

（2）證明：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1）

∵a1=1

∴數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列

（3）解：由上步可得an+1=2n，∴an=2n﹣1

∴

【解析】（1）由 ，將 代入可求解，由α為銳角，得α= ，從而計算得 進而求得函數表達式．（2）由an+1=2an+1，變形得an+1+1=2（an+1），由等比數列的定義可知數列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數列．（3）由（2）得an=2n﹣1，轉化為一個等比數列與一個等差數列的和的形式，可計算得 ．