Question

已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，是橢圓上的動點。

（Ⅰ）若的坐標分別是，求的最大值；

（Ⅱ）如題（20）圖，點的坐標為，是圓上的點，是點在軸上的射影，點滿足條件：，，求線段的中點的軌跡方程。

Answer 1

（Ⅰ）4   （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，故設橢圓方程為（a ＞b＞ 0 ）。

設，由準線方程得，由得，解得 a = 2 ，c = ，從而 b = 1，橢圓方程為。

又易知C，D兩點是橢圓的焦點，所以,。

從而，當且僅當，即點M的坐標為　時上式取等號，的最大值為4。

（II）如答（20）圖，設，。

因為，故

       ①

 因為

 

所以   .     ②

記P點的坐標為，因為P是BQ的中點

所以    

由因為  ，結合①，②得

      

      

      

故動點P的估計方程為

。