Question

（13分）（理科）已知以原點為中心的橢圓的一條準線方程為，離心率，是橢圓上的動點．

（1）若點的坐標分別是，求的最大值；

（2）如圖，點的坐標為，是圓上的點，點是點在軸上的射影，點滿足條件：，求線段的中點的軌跡方程.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）4

（2）

【解析】(理科) 解：（Ⅰ）由題設條件知焦點在y軸上，

故設橢圓方程為（a ＞b＞ 0 ）.

設，由準線方程得.由

得，解得 a = 2 ,c = ，從而 b = 1，

橢圓方程為 .又易知C，D兩

點是橢圓的焦點，所以,

 從而，當且僅當，即點M的坐標為　時上式取等號，的最大值為4。…………………………………………6分

（II）如圖（20）圖，設

.因為，故      ①      因為

所以   .     ②

記P點的坐標為，因為P是BQ的中點，所以

又因為  ，結合①，②得

   

故動點P的軌跡方程為……………………………………….13分