Question

設{a_n}，{b_n}是兩個數列，M（1，2），A_n(2，an)，Bn(

n-1

n

，

2

n

)為直角坐標平面上的點．對n∈N^*，若三點M，A_n，B共線，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足：log2cn=

a1b1+a2b2+…+anbn

a1+a2+…+an

，其中{c_n}是第三項為8，公比為4的等比數列．求證：點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），…P_n（n，b_n）在同一條直線上；
（3）記數列{a_n}、{b_n}的前m項和分別為A_m和B_m，對任意自然數n，是否總存在與n相關的自然數m，使得a_nB_m=b_nA_m？若存在，求出m與n的關系，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知

an-2

2-1

=

2 n -2

n-1 n -1

，由此可得a_n=2+2（n-1），所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2n．
（2）由題意得cn=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，∴22n-3=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，由此可推導出b_n=3n-4．從而推導出點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），P_n（n，b_n）在同一條直線上．
（3）由題設條件可知anBm-bnAm=2n(

3

2

m2-

5

2

m)-(3n-4)(m2+m)=4m（m+1-2n），所以對任意自然數n，當m=2n-1時，總有a_nB_m=b_nA_m成立．

解答：解：（1）因三點M，A_n，B_n共線，
∴

an-2

2-1

=

2 n -2

n-1 n -1

（2分）
得a_n=2+2（n-1）故數列{a_n}的通項公式為a_n=2n（4分）
（2）由題意c_n=8•4^n-3=2^2n-3，a1+a2++an=

n(2+2n)

2

=n(n+1)
由題意得cn=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，∴22n-3=2

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

（6分）
∴2n-3=

a1b1+a2b2++anbn

a1+a2++an

，
∴a₁b₁+a₂b₂+a_nb_n=n（n+1）（2n-3）
當n≥2時，a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-（n-1）n（2n-5）=n（6n-8）（8分）
∵a_n=2n
∴b_n=3n-4．
當n=1時，b₁=-1，也適合上式，
∴b_n=3n-4（n∈N^*）（10分）
因為兩點P₁、P_n的斜率K=

bn-b1

n-1

=

(n-1)•3

n-1

=3（n∈N^*）為常數
所以點列P₁（1，b₁），P₂（2，b₂），P_n（n，b_n）在同一條直線上．（12分）
（3）由a_n=2n得Am=2m+

m(m-1)

2

×2=m2+m；
b_n=3n-4得Bm=-m+

m(m-1)

2

×3=

3

2

m2-

5

2

m（14分）
若a_nB_m=b_nA_m，
則anBm-bnAm=2n(

3

2

m2-

5

2

m)-(3n-4)(m2+m)=4m（m+1-2n）
∵m≥1
∴m=2n-1
∴對任意自然數n，當m=2n-1時，總有a_nB_m=b_nA_m成立．（16分）

點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．