Question

已知函數f(x)=ex-

1

2

x2，其導函數為f′（x）．
（1）求f′（x）的最小值；
（2）證明：對任意的x₁，x₂∈[0，+∞）和實數λ₁≥0，λ₂≥0且λ₁+λ₂=1，總有f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）；
（3）若x₁，x₂，x₃滿足：x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），利用導數判斷f′（x）的單調性，由單調性即可求得其最小值；
（2）不妨設x₁≤x₂，構造函數K（x）=f（λ₁x+λ₂x₂）-λ₁f（x）-λ₂f（x₂）（x∈[0，x₂]），只需證明K（x）≤0，由（1）可判斷K′（x）≥0，從而知函數K（x）在[0，x₂]上單調遞增，故而K（x）≤K（x₂），得證；
（3）先證對任意的x₁，x₂，x₃∈[0，+∞）和實數λ₁≥0，λ₂≥0，λ₃≥0，且λ₁+λ₂+λ₃=1，總有f（λ₁x₁+λ₂x₂+λ₃x₃）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），運用（2）的結論容易證明，再令λ1=λ2=λ3=

1

3

，即可求得其最小值．

解答：（1）解：f′（x）=e^x-x，f''（x）=e^x-1
當x∈（-∞，0）時，f''（x）=e^x-1＜0，即f′（x）在區間（-∞，0）上為減函數；
當x∈[0，+∞）時，f''（x）=e^x-1≥0，即f′（x）在區間[0，+∞）上為增函數；
于是f′（x）的最小值為f′（0）=1．
（2）證明：不妨設x₁≤x₂，構造函數K（x）=f（λ₁x+λ₂x₂）-λ₁f（x）-λ₂f（x₂）（x∈[0，x₂]），
則有K（x₂）=f（λ₁x₂+λ₂x₂）-λ₁f（x₂）-λ₂f（x₂）=0，
則K′(x)=λ1f′(λ1x+λ2x2)-λ1f′(x)=λ1(f′(λ1x+λ2x2)-f′(x))，
而λ₁x+λ₂x₂-x=（λ₁-1）x+λ₂x₂=λ₂（x₂-x）≥0，所以λ₁x+λ₂x₂≥x，
由（1）知f′（x）在區間[0，+∞）上為增函數，
所以f′(λ1x+λ2x2)-f′(x)≥0，即K′（x）≥0，
所以K（x）在[0，x₂]上單調遞增，
所以K（x）≤K（x₂）=0，即f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．
（3）解：先證對任意的x₁，x₂，x₃∈[0，+∞）和實數λ₁≥0，λ₂≥0，λ₃≥0，且λ₁+λ₂+λ₃=1，
總有f（λ₁x₁+λ₂x₂+λ₃x₃）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），f(λ1x1+λ2x2+λ3x3)=f((λ1+

λ

2

)(

λ1

λ1+λ2

x1+

λ2

λ1+λ2

x2)+λ3x3)≤(λ1+λ2)f(

λ1

λ1+λ2

x1+

λ2

λ1+λ2

x2)+λ3f(x3)≤(λ1+λ2)•(

λ1

λ1+λ2

f(x1)+

λ2

λ1+λ2

f(x2))+λ3f(x3)
=λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），
令λ1=λ2=λ3=

1

3

，有f(

x1+x2+x3

3

)≤

1

3

(f(x1)+f(x2)+f(x3))，
當x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3時，有f(x1)+f(x2)+f(x3)≥3f(

x1+x2+x3

3

)=3f(1)=3e-

3

2

．
所以f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值為3e-

3

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、求函數的最值，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，考查學生對問題的轉化能力，本題綜合性強，難度大，能力要求高．