Question

【題目】點O是平面上一定點，A、B、C是平面上△ABC的三個頂點，∠B、∠C分別是邊AC、AB的對角，以下命題正確的是（把你認為正確的序號全部寫上）． ①動點P滿足 = + + ，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的內心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中；
⑤動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），則△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合中．

Answer 1

【答案】①②③④⑤
【解析】解：對于①，∵動點P滿足 = + + ， ∴ = + ，
則點P是△ABC的重心，故①正確；
對于②，∵動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ）（λ＞0），
又 + 在∠BAC的平分線上，
∴ 與∠BAC的平分線所在向量共線，
∴△ABC的內心在滿足條件的P點集合中，②正確；
對于③，動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ），（λ＞0），
過點A作AD⊥BC，垂足為D，則| |sinB=| |sinC=AD，
= （ + ），向量 + 與BC邊的中線共線，
因此△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中，③正確；
對于④，動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ）（λ＞0），
∴ =λ（ + ） =λ（| |﹣| |）=0，
∴ ⊥ ，
∴△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中，④正確；
對于⑤，動點P滿足 = +λ（ + ）（λ＞0），
設 = ，
則 =λ（ + ），
由④知（ + ） =0，
∴ =0，
∴ ⊥ ，
∴P點的軌跡為過E的BC的垂線，即BC的中垂線；
∴△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合，⑤正確．
故正確的命題是①②③④⑤．
所以答案是：①②③④⑤．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．