Question

（本小題滿分13分）

已知函數，.

（Ⅰ）求函數的零點個數。并說明理由；

（Ⅱ）設數列{ }（）滿足，，證明：存在常數M,使得 對于任意的，都有≤ ．

Answer 1

解：（I）由，而，

的一個零點，且在（1，2）內有零點。

因此至少有兩個零點。

解法1：記則

當上單調遞增，則內至多只有一個零點。又因為內有零點，所以內有且只有一個零點，記此零點為；當時，

所以，

當單調遞減，而內無零點；

當單調遞減，而內無零點；

當單調遞增，而內至多只有一個零點。

從而內至多只有一個零點。

綜上所述，有且只有兩個零點。

解法2：由，則

當從而上單調遞增，

則內至多只有一個零點，因此內也至多只有一個零點。

綜上所述，有且只有兩個零點。

   （II）記的正零點為

   （1）當

而

由此猜測：。下面用數學歸納法證明。

①當顯然成立。

②假設當時，由

因此，當成立。

故對任意的成立。

   （2）當，由（I）知，上單調遞增，則，

即，

由此猜測：，下面用數學歸納法證明，

①當顯然成立。

②假設當成立，則當時，

由

因此，當成立，

故對任意的成立

綜上所述，存在常數，使得對于任意的