Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面分別為和的中點， 是邊長為的正三角形， .

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，利用平行四邊形得到線線平行，進而利用線面平行的判定定理進行證明；（2）利用圖中的垂直關系建立合適的空間直角坐標系，利用平面的法向量和夾角公式進行求解.

試題解析：(1)取的中點，連接分別為和的中點， ，則四邊形是平行四邊形，則平面平面平面.

(2)取中點為等邊三角形， ，又平面平面，建立以為坐標原點， 分別為軸的空間直角坐標系如圖：

則，則設平面的法向量為， ，則，即，令，則，即，平面的法向量為， ，則，得，即，令，則，即，則

，即二面角的余弦值是.