Question

(本小題滿分14分)
已知函數f (x)=e^x，g(x)=lnx，h(x)=kx+b.
(1)當b=0時，若對x∈（0，+∞）均有f (x)≥h(x)≥g(x)成立，求實數k的取值范圍；
(2)設h(x)的圖象為函數f (x)和g(x)圖象的公共切線，切點分別為(x₁, f (x₁))和(x₂, g(x₂))，其中x₁>0.
①求證：x₁>1>x₂；
②若當x≥x₁時，關于x的不等式ax₂－x+xe+1≤0恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）[，e]（2）①分別求f(x)和g(x)在點(x₁, f (x₁))和(x₂, g(x₂))的切線，記為公切線，所以斜率和截距分別相同，從而得證結論；②（－∞，1]

試題分析：(1)依題意對x∈（0，+∞）均有e^x≥kx≥lnx成立，
即對任意x∈（0，+∞）均有≥k≥成立，                         ……1分
∴()_min≥k≥，
因為=，故在（0，1）上減，（1，+∞）增，
∴（）_min=e，
又 ，故在（0，e）上減，（e，+∞）增，
∴ ，即k的取值范圍是[，e] .                              ……5分
(2)由題知：h(x)即為y－e= e(x－x₁)即y=e·x+ e－x₁ e,
也為y=lnx₂=即y=+lnx₂－1,
∴,                                                ……6分
又x₁=0   ∴e>1 即>1x₁>1即x₁>1>x_2,                                                      ……8分
(3)令F(x)=ax₂－x+xe+1(x≥x₁),
∴F′(x)= －1－xe+e=－1+e(1－x)( x≥x₁₎
又x≥x₁>1    F′(x)= －1－xe+e=－1+e(1－x)<0,
即F(x)=ax₂－x+xe+1(x≥x₁)單減,
所以只要F(x)≤F(x₁)= ax₂－x₁+₁xe+1≤0,
即a+ x₁－x₁e+ e≤0.                                                  ……12分
由,
∴,
即
故只要≤0得：a≤1,
綜上，實數a的取值范圍是（－∞，1].                                    ……14分
點評：導數是研究函數性質的有力工具，要熟練應用，而恒成立問題一般要轉化為最值問題解決.