Question

有下列命題：
①如果冪函數(shù)f （x）=（m²-3m+3）xm2-m-1的圖象不過原點，則m=l或2；
②數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充要條件為a_n=a₁q^n-1（q為常數(shù)）：
③已知向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），若向量

a

與

b

的夾角為銳角，則實數(shù)t的取值范圍是t＜4； 
④函數(shù)f （x）=xsinx在（0，π）上有最大值，沒有最小值．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①冪函數(shù)的圖象不過原點，所以冪指數(shù)小于0，系數(shù)為1，求解即可．
②根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，可以推出a_n=a₁q^n-1，反之可以利用特殊值法進(jìn)行判斷；
③已知向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），根據(jù)公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

利用此信息進(jìn)行求解；
④求出其導(dǎo)數(shù)，在（0，π）上通過研究單調(diào)性的變化即可獲得問題的解答；

解答：解：①冪函數(shù)y=（m²-3m+3）xm2-m-1的圖象不過原點，所以

m2-m-1＜0 m2-3m+3=1

解得m=1，符合題意．故①錯誤；
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列可以推出a_n=a₁q^n-1；若a_n=a₁q^n-1，取q=0，可得a_n=0，故②錯誤；
③向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），若向量

a

與

b

的夾角為銳角，設(shè)為θ，cosθ=

a • b

| a |•| b |

＞0，即-3t+12＞0解得t＜4，
首先若

a

=λ

b

可以推出兩個向量共線，此時（t，2）=λ（-3，6），可得t=-1，
∴t≠-1，故t＜4且t≠-1；
故③錯誤；
④由題意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
當(dāng)x∈（0，

π

2

），可得f′（x）＞0，x∈（

π

2

，π），可得f′（x）＜0，
函數(shù)在[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，同上可知函數(shù)在（0，π）上為先增后減的函數(shù)，又所給區(qū)間為開區(qū)間，
∴函數(shù)f （x）=xsinx在（0，π）上有最大值，沒有最小值．
故④正確；
故選B；

點評：本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)分析問題．在解答的過程當(dāng)中成分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的知識、函數(shù)最值的知識、向量的內(nèi)積．值得同學(xué)們體會和反思．