Question

已知y=f（x）是以π為周期的奇函數，且x∈[-

π

2

，0]時，f（x）sin2x，則f（

13π

6

）=

3

2

．

Answer 1

分析：當x∈[0，

π

2

]時，得到-x∈[-

π

2

，0]，把-x代入由x∈[-

π

2

，0]時f（x）的解析式，根據f（x）和正弦函數都為奇函數，化簡可得x∈[0，

π

2

]時函數f（x）的解析式，然后把

13π

6

變形為π+

π

6

，根據f（x）的周期為π化簡，又根據

π

6

∈[0，

π

2

]，代入x∈[0，

π

2

]時的解析式，約分后，利用特殊角的三角函數值即可求出值．

解答：解：根據x∈[-

π

2

，0]時，f（x）=sin2x，
可得x∈[0，

π

2

]時，-x∈[-

π

2

，0]，
所以f（-x）=sin（-2x）=-sin2x，又y=f（x）為奇函數，得到f（-x）=-f（x），
所以x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sin2x，又y=f（x）是以π為周期的函數，
∴f（

13π

6

）=f（π+

π

6

）=f（

π

6

）=sin（2×

π

6

）=sin

π

3

=

3

2

．
故答案為：

3

2

點評：此題考查了三角函數的周期性及奇偶性，以及正弦函數的奇偶性，由x∈[-

π

2

，0]時f（x）的解析式確定出x∈[0，

π

2

]時函數f（x）的解析式及由函數的周期為π化簡所求的式子是解本題的關鍵．