Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，
∵直線與圓相切，∴，即，       
又，即，，解得，，
所以橢圓方程為．                                 
（Ⅱ）設，其中．
由已知及點在橢圓上可得，
整理得，其中．           
①當時，化簡得，
所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；
②當時，方程變形為，其中，
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．

略