Question

【題目】2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢嚴峻，避免外出是減少相互交叉感染最有效的方式．在家中適當鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，抵抗該種病毒．某小區為了調查“宅”家居民的運動情況，從該小區隨機抽取了100位成年人，記錄了他們某天的鍛煉時間，其頻率分布直方圖如下：

（1）求a的值，并估計這100位居民鍛煉時間的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；

（2）小張是該小區的一位居民，他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時長：

序號n	1	2	3	4	5	6	7
鍛煉時長m（單位：分鐘）	10	15	12	20	30	25	35

（Ⅰ）根據數據求m關于n的線性回歸方程；

（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），則當天被稱為“有效運動日”．估計小張“宅”家第8天是否是“有效運動日”？

附；在線性回歸方程中，，．

Answer 1

【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估計小張“宅”家第8天是“有效運動日”．

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖的特征，各小矩形面積之和為1，即可求出a的值，再根據平均值等于各小矩形的面積乘以其底邊中點的橫坐標之和，即可求出；

（2）（Ⅰ）根據最小二乘法，分別計算出和，即可求出m關于n的線性回歸方程；

（Ⅱ）根據線性回歸方程，令，求出預測值，再驗證是否滿足，即可判斷．

（1），

．

（分鐘）．

（2）（Ⅰ），

，

，

，，

關于n的線性回歸方程為．

（Ⅱ）當時，．

，

估計小張“宅”家第8天是“有效運動日”．