Question

將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別稱為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過三棱錐頂點及斜面任兩邊中點的截面均稱為斜面的“中面”．請仿照直角三角形以下性質(zhì)：
（1）斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半；
（2）兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1．
寫出直角三棱錐的相應(yīng)性質(zhì)（至少一條）：

（1）斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；
（2）三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；
（3）斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1

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Answer 1

分析：根據(jù)平面幾何到立體幾何類比的特點：點到線，線到面，或是二維變?nèi)�維；由題目中直角三角形的性質(zhì)，我們可以類比三棱錐中相應(yīng)面的性質(zhì)或二面角的性質(zhì)．

解答：解：由平面圖形的性質(zhì)類比猜想空間幾何體的性質(zhì)，
一般的思路是：點到線，線到面，或是二維變?nèi)�維；
由題目中直角三角形以下性質(zhì)：
（1）斜邊的中線長等于斜邊邊長的一半（邊的性質(zhì)），
我們可以推斷三棱錐中，斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一
（2）兩條直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方（邊的性質(zhì)）；
我們可以推斷三棱錐中，三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方
（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1（邊夾角的性質(zhì)）．
我們可以推斷三棱錐中，斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1．
故答案為：（1）斜面的中面面積等于斜面面積的四分之一；
（2）三個直角面面積的平方和等于斜面面積的平方；
（3）斜面與三個直角面所成二面角的余弦平方和等于1．

點評：本題考查的知識點是類比推理，由平面圖形的性質(zhì)類比猜想空間幾何體的性質(zhì)，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．