Question

已知a∈R，函數f（x）=x²+ax-2-lnx．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若a=1，且對于區間[

1

3

，1]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數c的取值范圍．
（參考數據：ln3≈1.0986）

Answer 1

分析：（1）先求導數：f′（x）=2x+a-

1

x

，由函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，可得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，進而構造關于a的不等式，進而可求出實數a的取值范圍；
（2）把a=1代入，結合（1）可判斷出函數f（x）在區間[

1

3

，1]上的值域，進而可得實數c的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴f′（x）=2x+a-

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

-2x在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=

1

x

-2x，則函數g（x）在[1，+∞）上為減函數
∴當x=1時，函數g（x）取最大值-1
∴a≥-1，即實數a的取值范圍為[-1，+∞）
（2）當a=1時，f（x）=x²+x-2-lnx．f′（x）=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

當x∈[

1

3

，

1

2

]時，f′（x）≤0，此時函數為減函數
當x∈[

1

2

，1]時，f′（x）≥0，此時函數為增函數
故當x=

1

2

時，f（x）取最小值ln2-

5

4

當x=1時，f（x）取最大值0
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

5

4

-ln2
∴c≥

5

4

-ln2

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，導數在最大值，最小值問題中的應用，熟練掌握導數的符號與函數單調性的關系是解答的關鍵．