Question

設F₁、F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，O為坐標原點，|F₁F₂|=2c以O為圓心，以c為半徑的圓與雙曲線的四個交點及F₁、F₂恰好構成正六邊形的六個頂點．則雙曲線的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：由已知中，以O為圓心，以c為半徑的圓與雙曲線的四個交點及F₁、F₂恰好構成正六邊形的六個頂點，我們易求出該正六邊形的邊長及不相鄰兩個頂點之間的距離，進而求出2a的值，代入離心率表達式e=

c

a

即可得到答案．

解答：解：∵以c為半徑的圓與雙曲線的四個交點及F₁、F₂恰好構成正六邊形的六個頂點
∴該正六邊形的邊長為c，
則2a=（

3

-1）c
則雙曲線的離心率e=

c

a

=

2c

2a

=

2c

( 3 -1)c

=

3

+1
故答案為：

3

+1

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，其中根據已知條件，計算出a值，是解答本題的關鍵．