Question

有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數至少是（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：求出各個層的正方體的表面積，求出它們的和，該塔形的表面積（含最底層正方體的底面面積）超過39，求出正方體的個數至少個數．

解答：解：底層正方體的表面積為24；第2層正方體的棱長2×

2

2

，每個面的面積為4×(

1

2

)；第3層正方體的棱長為2×(

2

2

)2，每個面的面積為4×(

1

2

)2；┉，第n層正方體的棱長為2×(

2

2

)n-1，每個面的面積為4×(

1

2

)n-1；
若該塔形為n層，則它的表面積為
24+4[4×(

1

2

)+4×(

1

2

)2+┉+4×(

1

2

)n-1]=40-(

1

2

)n-5
因為該塔形的表面積超過39，所以該塔形中正方體的個數至少是6．
故選C

點評：本題是中檔題，考查計算能力，數列求和的知識，正確就是解好數學問題的關鍵，常考題型．