Question

已知半徑為

3

的球內有一個內接正方體（即正方體的頂點都在球面上）．
（1）求此球的體積；
（2）求此球的內接正方體的體積；
（3）求此球的表面積與其內接正方體的全面積之比．

Answer 1

分析：（1）根據球的體積公式加以計算，可得此球的體積；
（2）由正方體的性質可得正方體的對角線長等于它的外接球直徑，由此利用正方體對角線公式，算出正方體的棱長為2，可得球的內接正方體的體積；
（3）根據前面算出的數據，利用球的表面積公式與正方體的全面積公式加以計算，可得所求的面積之比．

解答：解：（1）∵球的半徑為R=

3

，
∴球的體積為V=

4

3

πR3=

4

3

π×(

3

)3=4

3

π；
（2）設正方體的棱長為a，可得正方體的對角線長為

3

a，
∵球的半徑為

3

，且正方體內接于球，
∴正方體的對角線就是球的直徑，可得

3

a=2

3

，解得a=2．
因此，此球的內接正方體的體積V₁=a³=2³=8；
（3）由（2）得內接正方體的棱長a=2，可得正方體的全面積為S₁=6a²=24．
又∵球的表面積S₂=4πR²=12π，
∴此球的表面積與其內接正方體的全面積之比為

S2

S1

=

12π

24

=

π

2

．

點評：本題給出球的內接正方體，在已知球的半徑的情況下求正方體的體積與表面積．著重考查了正方體的性質、球的體積與表面積計算和球內接多面體等知識，屬于基礎題．