Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為.

(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

(2)若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).求點(diǎn)到直線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】(1)，；(2).

【解析】

(1) 已知直線的極坐標(biāo)方程，運(yùn)用互化公式，，即可求出直角坐標(biāo)方程.將曲線的參數(shù)方程進(jìn)行消去參數(shù)，即可得出曲線的普通方程.

(2) 利用曲線的參數(shù)方程表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo)，便得出中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離的最大值.

(1)∵直線的極坐標(biāo)方程為，即.

由，，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.

將曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線的普通方程為.

(2)設(shè).

點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為.

則.

∴點(diǎn)到直線的距離.

當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

∴點(diǎn)到直線的距離的最大值為.