Question

設P為曲線C：y=4lnx-

x2

4

上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點P橫坐標的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由函數解析式得到函數的定義域，設出P點坐標（x₀，y₀），求出x=x₀的導數值，由曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，得到切線的斜率范圍是[0，1]，由x=x₀的導數值在區間[0，1]內列分式不等式求解x₀的范圍，結合函數的定義域得答案．

解答：解：函數y=4lnx-

x2

4

的定義域為（0，+∞），
由y=4lnx-

x2

4

，得y′=

4

x

-

x

2

，
設P（x₀，y₀），則y′|x=x0=

4

x0

-

x0

2

，
∵曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，
∴0＜k＜1，即0≤

4

x0

-

x0

2

≤1，解得：-4≤x0≤-2

2

或2≤x0≤2

2

．
∵x₀＞0，∴2≤x0≤2

2

．
則點P橫坐標的取值范圍為[2，2

2

]．
故答案為：[2，2

2

]．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了直線的傾斜角與斜率的關系，訓練了分式不等式的解法，是中檔題．