Question

已知函數f（t）=

1-t 1+t

，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，

17

12

π]，求函數g（x）的最小正周期、單調區間及值域．

Answer 1

分析：把函數f（x）的解析式代入g（x）利用二倍角公式進行化簡整理求得g（x）的解析式，進而根據正弦函數的性質可分別求得函數的周期，單調區間和值域．

解答：解：f（t）=

1-t 1+t

∴f（sinx）=

1-sinx 1+sinx

f（cosx）=

1-cosx 1+cosx

∴g（x）=cosx×f（sinx）+sinx×f（cosx）
=cosx×

1-sinx 1+sinx

+sinx×

1-cosx 1+cosx

=-

1-sinx 1+sinx •cos2x

-

1-cosx 1+cosx •sin2 x

=-

(1-sinx)2

-

(1-cosx)2

=-1+sinx-1+cosx
∴g（x）=-2+sinx+cosx
=

2

sin（x+

π

4

）-2
∴g（x）的最小正周期為

2π

1

=2π
由正弦函數的性質可知-

π

2

+2kπ＜x+

π

4

＜

π

2

+2kπ單調增

π

2

+2kπ＜x+

π

4

＜

3π

2

+2kπ  （k∈Z）單調減，
∴g（x）在[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]上單調遞增
[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]k∈Z）上在單調遞減
又x∈（π，

17

12

π]，
∴g（x）的單調區間為[π，

5π

4

]，[

5π

4

，

17

12

]，值域為（3，

2

+2]，

點評：本題主要考查了利用二倍角公式化簡求值的問題．涉及了正弦函數的性質，考查了考生對基本知識的綜合把握．