Question

（本小題滿分14分）

已知各項均為正數的數列{a_n}前n項和為S_n，(p – 1)S_n = p² – a_n，n ∈N^*，p > 0且p≠1，數列{b_n}滿足b_n = 2log_pa_n．

（Ⅰ）若p =，設數列的前n項和為T_n，求證：0 < T_n≤4；

（Ⅱ）是否存在自然數M，使得當n > M時，a_n > 1恒成立？若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：由(p – 1)S_n = p² – a_n (n∈N^*)                 ①

       由(p – 1)S_{n – 1} = p² – a_{n – 1}                                 ②

       ① – ②得(n≥2)

       ∵a_n > 0 (n∈N^*)

又(p – 1)S₁ = p² – a₁，∴a₁ = p

{a_n}是以p為首項，為公比的等比數列

a_n = p

b_n = 2log_pa_n = 2log_pp^{2 – n}

∴b_n = 4 – 2n ………… 4分

   證明：由條件p =得a_n = 2^{n – 2}

       ∴T_n =                   ①

                      ②

① – ②得

= 4 – 2 ×[來源:Z|xx|k.Com]

= 4 – 2 ×

∴T_n =………… 8分

T_n – T_{n – 1} =

當n > 2時，T_n – T_{n – 1}< 0

所以，當n > 2時，0 < T_n≤T₃ = 3

又T₁ = T₂ = 4，∴0 < T_n≤4．…………10分

   （Ⅱ）解：若要使a_n > 1恒成立，則需分p > 1和0 < p < 1兩種情況討論

       當p > 1時，2 – n > 0，n < 2

       當0 < p < 1時，2 – n < 0，n > 2

       ∴當0 < p < 1時，存在M = 2

       當n > M時，a_n > 1恒成立．………… 14分

 

【解析】略