Question

寬為a的走廊與另一走廊垂直相連，如果長為8a的細桿能水平地通過拐角，則另一走廊的寬度至少是多少？

Answer 1

分析：設細桿與另一走廊一邊的夾角為θ(0＜θ＜

π

2

)，根據圖可知y(θ)=BCsinθ=8asinθ-

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)整理可得函數．“如果長為8a的細桿能水平地通過拐角，求另一走廊的寬度至少是多少”，關鍵看函數y（θ）的最小值，先研究其單調性，用導數法，先求導，由y'（θ）＞0，y（θ）為增函數，可知當 θ=

π

3

時，y（θ）有最小值，即可得到結論．

解答：解：如圖，設細桿與另一走廊一邊的夾角為θ(0＜θ＜

π

2

)，
設另一走廊的寬為y，∵AB=

a

cosθ

，BC=8a-

a

cosθ

，∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ-

asinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)
依題意必存在一個適當的0值使y最小．
由y′(θ)=8acosθ-

asin2θ+acos2θ

cos2θ

=8acosθ-

a

cos2θ

令y'=0得cos3θ=

1

8

，得csoθ=

1

2

，θ=

π

3

，
當cosθ＜

1

2

時，y'＜0，當cosθ＞

1

2

時，y'＞0，
∴當cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

時，ymin3

3

a，即另一走廊的寬度至少是3

3

a

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，解答關鍵是還利用三角函數的定義求出函數表達式，再利用導數法求函數最值等．