Question

如圖，寬為a的走廊與另一寬為b的走廊垂直相連，設(shè)細(xì)桿AC的長為l，∠ACD=α
（1）試用a，b，α表示l；
（2）當(dāng)b=a時，求當(dāng)細(xì)桿AC能水平通過拐角時l的最大值；
（3）當(dāng)l=8a時，問細(xì)桿AC能水平通過拐角，則另一走廊寬b至少是多少？

Answer 1

分析：（1）由AB=

a

cosα

，BC=

b

sinα

，可表示出l，注意角α范圍；
（2）l=a(

1

cosα

+

1

sinα

)=

a(sinα+cosα)

sinαcosα

，令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），則l=a•

t

t2-1 2

=

2at

t2-1

，t∈(1，

2

]，利用導(dǎo)數(shù)可求得l的最小值，從而可得答案；
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•

sinα

cosα

，α∈(0，

π

2

)，利用導(dǎo)數(shù)可求得b的最小值；

解答：（解：（1）AB=

a

cosα

，BC=

b

sinα

，
∴l(xiāng)=AB+BC=

a

cosα

+

b

sinα

，∴l(xiāng)=

a

cosα

+

b

sinα

，α∈(0，

π

2

)；
（2）l=a(

1

cosα

+

1

sinα

)=

a(sinα+cosα)

sinαcosα

，
令t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
∵0＜α＜

π

2

，∴t∈(1，

2

]，sinαcosα=

t2-1

2

，
∴l(xiāng)=a•

t

t2-1 2

=

2at

t2-1

，t∈(1，

2

]，
而l′=

-2a(1+t2)

(t2-1)2

＜0，
∴l(xiāng)=

2at

t2-1

在t∈(1，

2

]上是減函數(shù)，且當(dāng)t大于1且無限趨近于1時，l→+∞，∴l(xiāng)∈[4

2

，+∞），
∴細(xì)桿AC能水平通過拐角時l的最大值為4

2

．
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•

sinα

cosα

，α∈(0，

π

2

)，
b′=8acosα-

a

cos2α

=

a(8cos3α-1)

cos2α

=

a(2cosα-1)(4cos2α+2cosα+1)

cos2α

，
令b′=0，則cosα=

1

2

，α=

π

3

，
當(dāng)0＜α＜

π

3

時，b′＜0；    當(dāng)

π

3

＜α＜

π

2

時，b′＞0，
∴當(dāng)α=

π

3

時，bmin=3

3

a，
∴另一走廊的寬至少為3

3

a．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生對題目的理解分析能力．