Question

18、一個盒子裝有七張卡片，上面分別寫著七個定義域為R的函數：f₁（x）=x³，f₂（x）=x²，f₃（x）=x，f₄（x）=cosx，f₅（x）=sinx，f₆（x）=2-x，f₇（x）=x+2．從盒子里任取兩張卡片：
（1）至少有一張卡片上寫著奇函數的取法有多少種？（用數字表示）
（2）兩卡片上函數之積為偶函數的取法有多少種？（用數字表示）

Answer 1

分析：（1）事件“至少有一張卡片上寫著奇函數”包含兩種情況①只一張卡片上寫著奇函數的取法有C₃¹×C₄¹=12種；②兩張卡片均寫著奇函數的取法有C₃²=3種，根據分類加法原理即可求得結果；
（2）事件“兩卡片上函數之積為偶函數”包含三種情況①兩偶函數之積為偶函數，其取法有C₂²=1種，②兩奇函數之積為偶函數，其取法有C₃²=3種，③特殊情況f₆（x）=2-x與f₇（x）=x+2之積為偶函數，取法是1種，根據分類加法原理即可求得結果．

解答：解：（1）奇函數有：f₁（x）=x³，f₃（x）=x，f₅（x）=sinx
偶函數有：f₂（x）=x²，f₄（x）=cosx
非奇非偶函數有：f₆（x）=2-x，f₇（x）=x+2
只一張卡片上寫著奇函數的取法有C₃¹×C₄¹=12種
至少有一張卡片上寫著奇函數的取法有15種
（2）兩偶函數之積為偶函數的取法有C₂²=1種
兩奇函數之積為偶函數的取法有C₃²=3種，f₆（x）=2-x與f₇（x）=x+2之積為偶函數，取法是1種
兩卡片上函數之積為偶函數的取法有5種．

點評：本題考查分類加法原理，考查函數的奇偶性，本題是一個典型的分類計數原理問題，注意做到不重不漏．屬中檔題．