Question

對于向量a，b，定義a×b為向量a，b的向量積，其運算結果為一個向量，且規定a×b的模|a×b|＝|a||b|sin θ(其中θ為向量a與b的夾角)，a×b的方向與向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次構成右手系．如圖所示，在平行六面體ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AE＝2，則(×)·＝( )

A．4 B．8 C．2 D．4

 

Answer 1

D

【解析】根據向量積定義知，向量×垂直平面ABCD，且方向向上，設×與所成角為θ.因為∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，所以點E在底面ABCD上的射影在直線AC上．

作EI⊥AC于I，則EI⊥平面ABCD，所以θ＋∠EAI＝.過I作IJ⊥AD于J，連接EJ，由三垂線逆定理可得EJ⊥AD.因為AE＝2，∠EAD＝60°，所以AJ＝1，EJ＝.又∠CAD＝30°，IJ⊥AD，所以AI＝.因為AE＝2，EI⊥AC，所以cos EAI＝＝，

所以sin θ＝sin＝cos EAI＝，cos θ＝.

故(×)·＝||||sin BAD||.

cos θ＝8××＝4，故選D.