Question

對于定義域為D的函數y=f（x），若有常數M，使得對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D滿足等式

f(x1)+f(x2)

2

=M，則稱M為函數y=f （x）的“均值”．
（1）判斷1是否為函數f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，請說明理由；
（2）若函數f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a為常數）存在“均值”，求實數a的取值范圍；
（3）若函數f（x）是單調函數，且其值域為區間I．試探究函數f（x）的“均值”情況（是否存在、個數、大小等）與區間I之間的關系，寫出你的結論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）根據均值的定義，要判斷1是函數f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，即要驗證

f(x1)+f(x2)

2

=x1+x2+1=1；
（2）函數f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a為常數）存在“均值”，當a=0時，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為-3；當a≠0時，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知對任意的x₁，都有唯一的x₂與之對應，從而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）單調，從而求得實數a的取值范圍；
（3）根據（1），（2）的結論對于當I=（a，b）或[a，b]時，函數f（x）存在唯一的“均值”；當I為（-∞，+∞）時，函數f（x）存在無數多個“均值”，當為半開半閉區間時，函數f（x）不存在均值．

解答：解：（1）對任意的x₁∈[-1，1]，有-x₁∈[-1，1]，
當且僅當x₂=-x₁時，有

f(x1)+f(x2)

2

=x1+x2+1=1，
故存在唯一x₂∈[-1，1]，滿足

f(x1)+f(x2)

2

=1，
所以1是函數f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”．
（2）當a=0時，f（x）=-2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”為-3；
當a≠0時，由f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）存在均值，可知對任意的x₁，
都有唯一的x₂與之對應，從而有f（x）=ax²-2x（1＜x＜2）單調，
故有

1

a

≤1或

1

a

≥2，
解得a≥1或a＜0或0＜a≤

1

2

，
綜上，a的取值范圍是a≤

1

2

或a≥1．　　　　　　　　　
（3）①當I=（a，b）或[a，b]時，函數f（x）存在唯一的“均值”．
這時函數f（x）的“均值”為

a+b

2

；　
②當I為（-∞，+∞）時，函數f（x）存在無數多個“均值”．
這時任意實數均為函數f（x）的“均值”；　　　　　
③當I=（a，+∞）或（-∞，a）或[a，+∞）或（-∞，a]或[a，b）或（a，b]時，
函數f（x）不存在“均值”．　　　　　　　　　　　　　
①當且僅當I形如（a，b）、[a，b]其中之一時，函數f（x）存在唯一的“均值”．
這時函數f（x）的“均值”為

a+b

2

；　
②當且僅當I為（-∞，+∞）時，函數f（x）存在無數多個“均值”．
這時任意實數均為函數f（x）的“均值”；　　　　　
③當且僅當I形如（a，+∞）、（-∞，a）、[a，+∞）、（-∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一時，
函數f（x）不存在“均值”．

點評：此題是個中檔題，考查函數單調性的理解，和學生的閱讀能力，以及分析解決問題的能力，其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．