Question

對于定義域為D的函數f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內有單調性；②存在區間[a，b]⊆D，使f（x）在區間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數，[a，b]為函數f（x）的“和諧”區間．
（Ⅰ）求“和諧”函數y=x³符合條件的“和諧”區間；
（Ⅱ）判斷函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)是否為“和諧”函數？并說明理由．
（Ⅲ）若函數g(x)=

x+4

+m是“和諧”函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據“和諧”函數的定義，建立條件關系，即可求y=x³符合條件的“和諧”區間；
（Ⅱ）判斷函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)是否滿足“和諧”函數？的條件即可．
（Ⅲ）根據函數g（x）是“和諧”函數，建立條件關系，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為y=x³是單調遞增函數，
所以有

a3=a b3=b a＜b

⇒

a=-1 b=1

a=-1 b=0

a=0 b=1

，
即[a，b]=[-1，1]或[a，b]=[-1，0]或[a，b]=[0，1]．
（Ⅱ）函數f(x)=x+

4

x

在（0，+∞）上不單調（說明），不是“和諧”函數．
（Ⅲ）若g(x)=

x+4

+m是“和諧”函數．
設-4≤x₁＜x₂，
則g(x1)-g(x2)=

x1+4

-

x2+4

=

(x1+4)-(x2+4)

x1+4 + x2+4

＜0，
所以g(x)=

x+4

+m是單調遞增函數．
若它是“和諧”函數，則必具備方程x=

x+4

+m有兩個不相同的實數解，
即方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有兩個不同的實數解且同時大于或等于-4和m．若令h（x）=x²-（2m+1）x+m²-4，
則

△＞0 2m+1 2 ＞-4 h(-4)≥0 x≥m

⇒m∈(-

17

4

，-4]．
另解：方程x=

x+4

+m有兩個不相同的實數解，
等價于兩函數y₁=x-m與y2=

x+4

的圖象有兩個不同的交點，當直線過（-4，0）時，m=-4；
直線與拋物線相切時m=-

17

4

，∴m∈(-

17

4

，-4]．
若它是“和諧”函數，則必具備方程x=

x+4

+m有兩個不相同的實數解，
即方程x²-（2m+1）x+m²-4=0有兩個不同的實數解且同時大于或等于-4和m．
若令h（x）=x²-（2m+1）x+m²-4，
則

△＞0 2m+1 2 ＞-4 h(-4)≥0 x≥m

⇒m∈(-

17

4

，-4]．

點評：本題主要考查“和諧”函數的定義及應用，正確理解“和諧”函數的定義是解決本題的關鍵．