Question

已知函數。
（1）若，求a的值；
（2）若a>1，求函數f(x)的單調區間與極值點；
（3）設函數是偶函數，若過點A（1，m）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的范圍。

Answer 1

(1) ；（2）單調遞增區間為和，單調遞減區間為，極小值點為，極大值點為。（3）。

解析試題分析：（1）,∵,  .3分
（2）得，
∵a>1，∴-1>1-2a,
,函數的單調遞增區間為和
，函數的單調遞減區間為  .4分
函數的極小值點為，極大值點為  5分
(3)當為偶函數，則a=0，
函數，  .7分
函數在的切線方程為，
且經過點A（1，m）的直線有三條，即關于的方程有三個解，即關于的方程有三個解，即y=m與有三個交點，考慮令，則，
解得，
∴在區間（0，1）上單調遞增，在和單調遞減  .12分
∵y=m與有三個交點，即h(0) <m<h(1)，∴
故m的取值范圍為   .10分
考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；函數的奇偶性。
點評：我們要注意在某點處的切線方程和過某點的切線方程的區別，在“某點處的切線方程”這點就是切點，而“過某點的切線方程”這一點不一定是切點。求曲線的切線方程，我們一般把切點設出。