如圖，在四棱錐
中，
底面
，底面為正方形，
，
分別是
的中點．
(1)求證：
；
(2)在平面
內求一點
，使
平面
，并證明你的結論；
(3)求
與平面
所成角的正弦值．
（1）詳見解析；（2）詳見解析；(3)
解析試題分析：在空間中直線、平面的平行和垂直關系的判定，求空間中的角，可以用相關定義和定理解決，如(1)中，易證
，
，所以，，但有些位置關系很難轉化，特別求空間中的角，很難找到直線在平面內的射影，很難作出二面角，這時空間向量便可大顯身手，如果圖形便于建立空間直角坐標系，則更為方便，本題就是建立空間直角坐標系，寫出各點坐標（1）計算
即可；(2)設
，再由
，
解出
，即可找出點；(3)用待定系數法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量與向量平面
的夾角的余弦，從而得到結果.
試題解析：以
所在直線為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系(如圖)，設
，則
，
，
，
，
，
，
．
(1)因為
，所以. 4分
(2)設，則
平面，
，
，所以
，
，所以
∴點坐標為
，即點為
的中點． 8分
(3)設平面的法向量為
．
由
得，
即
，
取
，則
，
，得
．
，
所以，與平面所成角的正弦值的大小為 13分
考點：空間向量與立體幾何.
A加金題 系列答案
全優測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，
，
，
，點M在線段EC上（除端點外）
（1）當點M為EC中點時，求證：
平面
；
（2）若平面
與平面ABF所成二面角為銳角，且該二面角的余弦值為
時，求三棱錐
的體積
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等邊三角形，D是BC的中點．
(1)求證：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，正方形
與矩形
所在平面互相垂直，
，點
為
的中點.
（1）求證：
∥平面
；
（2）求證：
；
（3）在線段上是否存在點
，使二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 900，D為棱BB1上一點，且面DA1 C⊥面AA1C1C.求證：D為棱BB1中點；（2）
為何值時，二面角A －A1D － C的平面角為600.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四邊形ABCD中，
為正三角形，
，
，AC與BD交于O點．將
沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為
，且P點在平面ABCD內的射影落在內．
（Ⅰ）求證：
平面PBD；
（Ⅱ）若
時，求二面角
的余弦值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題滿分14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于600，
是PC的中點，設
．
（1）試用
表示出向量
；
（2）求
的長．
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中，
為平行四邊形，且
平面
，
，
為
的中點，
．
//
；
， 求二面角
的余弦值．
是邊長為3的正方形，
，
，
與平面
.
的的余弦值;
是線段
上一動點，試確定
，并證明你的結論．