Question

（本小題滿分12分）
三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB邊中點，且CC₁="2AB."
（1）求證：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐D—CBB₁的體積.

Answer 1

（1）證明見解析
（2）證明見解析
（3）

（1）證明：因為CC₁⊥平面ABC，
又CC₁平面C₁CD，
所以平面C₁CD⊥平面ABC。  ………………4分
（2）證明：連結BC₁交B₁C于O，連結DO。
則O是BC₁的中點，
DO是△BAC₁的中位線。
所以DO//AC₁。 …………6分
因為DO平面CDB₁。  ………………8分
（3）解：因為CC⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，
所以BB₁為三棱錐D—CBB₁的高。  ………………10分

所以三棱錐D—CBB₁的體積為   ………………12分