Question

【題目】已知點F為拋物線C：x2＝2py (p＞0) 的焦點，點A(m，3)在拋物線C上，且|AF|＝5，若點P是拋物線C上的一個動點，設點P到直線的距離為，設點P到直線的距離為．

(1)求拋物線C的方程；

(2) 求的最小值；

(3)求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據拋物線的定義，將的長度轉化為點縱坐標到準線的距離，從而得到，求出拋物線方程.

（2）將拋物線上點的到直線的距離轉化為直線與拋物線相切時，兩平行線之間的距離.

（3）利用拋物線定義，將轉化為的長度，從而的值等于焦點到直線的距離，再求出其最小值.

（1）拋物線，

所以拋物線的準線為

由拋物線的定義得，，

解得，所以拋物線的方程為

（2）設直線的平行線：與拋物線相切，

整理得

得

故所求的最小值為

（3）由直線是拋物線的準線，

所以的最小值等于到直線的距離：

故所求的最小值為.