Question

 

    已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側棱上的動點．

   （1） 求四棱錐的體積；

   （2） 是否不論點在何位置，都有？證明你的結論；

   （3） 若點為的中點，求二面角的大小．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1） 由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，

側棱底面，且．                  …………2分

∴，

即四棱錐的體積為．                      …………4分

 

（2） 不論點在何位置，都有．    …………5分

證明如下：連結，∵是正方形，

∴．          …………6分

∵底面，且平面，

∴．       …………7分

又∵，∴平面．

∵不論點在何位置，都有平面．

∴不論點在何位置，都有．                     …………8分

（3） 解法1：在平面內過點作于，連結．

∵，，，

∴Rt△≌Rt△，

從而△≌△，∴．

∴為二面角的平面角．                 …………10分

在Rt△中，，

又，在△中，由余弦定理得

，

∴，

即二面角的大小為．…………12分

解法2：如圖，以點為原點，

所在的直線分別為軸建立空間直角

坐標系．則，從而

，，，．………8分

設平面和平面的法向量分別為

，，

由，取．

由，取． …………10分

設二面角的平面角為，則，

∴，即二面角的大小為．       …………12分