Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓 的離心率為，長軸長為4，過橢圓的左頂點作直線，分別交橢圓和圓于相異兩點

(1) 若直線的斜率為1，求的值:

(2) 若，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由題意得，求得橢圓方程為及圓的方程為，把直線的方程與橢圓的方程聯立，求解，利用弦長公式求解，又因為過，且為圓上的點，所以，求得，即可得到結論.

(2) 由，即，可得，設，聯立方程組，求得和，代入即可求解實數的取值范圍.

詳解：由題意得 ， ，則；

則橢圓的方程為 ，圓的方程為；

（1）直線的方程為，，得

解得，，

又因為過，且為圓上的點，所以，則；

所以

(2) 若 ，因為，所以；

因為,為相異兩點，所以直線的斜率存在且不等于零；則設：，

由，得；所以；同理可得；

；因為，且，所以.